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Le cours de mathématiques appliquées présenté se concentre sur la modélisation et la résolution de problèmes pratiques à l'aide des équations aux dérivées ordinaires (EDO) et des équations aux dérivées partielles (EDP), avec des applications variées en dynamique et en physique.

1. Systèmes d'équations aux dérivées ordinaires (EDO) :

• Application : Les systèmes d'EDO sont utilisés pour modéliser des phénomènes dynamiques, tels que la dynamique des systèmes et la circulation de polluants dans des réservoirs. Ce type de modélisation permet de comprendre comment les variables évoluent au fil du temps sous l'influence de diverses forces ou interactions.
• Objectif : Résoudre ces systèmes pour déterminer l'évolution des variables dans le temps.

2. Fonctions spéciales :

Les fonctions spéciales sont des solutions d'équations différentielles qui apparaissent fréquemment dans diverses branches des mathématiques appliquées, notamment en physique et en ingénierie. Parmi les plus courantes, on trouve :

1.      La fonction Gamma $\Gamma(z)$Γ(z) : Une généralisation de la factorielle, définie pour les nombres réels et complexes. Elle est utilisée dans de nombreux domaines, notamment en probabilité, en physique statistique, et dans le calcul des distributions.

2.      La fonction Bêta: Liée à la fonction Gamma, elle intervient dans les probabilités et la modélisation de phénomènes entre 0 et 1, comme dans la distribution Bêta. Elle est également utilisée dans les intégrales multiples et les calculs d'aires.

3.      Les fonctions de Bessel: Solutions de l'équation de Bessel, elles apparaissent dans des problèmes à symétrie cylindrique ou sphérique, comme les vibrations et la diffraction d'ondes.

Ces fonctions jouent un rôle clé dans la modélisation de phénomènes physiques complexes, tels que les ondes, les vibrations, et la diffusion.

3. Problème de Sturm-Liouville :

• Ce problème se rapporte à un type d'équation différentielle du second ordre avec des conditions aux limites spécifiques. Il est essentiel pour la quantification de modes propres dans des systèmes physiques (comme les vibrations ou les ondes).
• Fonctions orthogonales : Ce concept est crucial dans l'analyse des solutions, permettant de décomposer des fonctions complexes en une somme de fonctions plus simples, ce qui facilite les calculs et la compréhension du phénomène physique étudié.

4. Série de Fourier :

• Applications : Les séries de Fourier permettent de représenter des fonctions périodiques comme une somme de fonctions trigonométriques (sine et cosine). Cela est très utile pour approximations, analyse de signaux, et modélisation de phénomènes comme les vibrations, la chaleur, ou la diffusion.
• Concepts :
• Fonctions paires et impaires : Les fonctions peuvent être décomposées en parties paires et impaires, facilitant ainsi leur traitement en série de Fourier.
• Demi-expansion en série de Fourier : Utilisation dans des cas où la fonction n’est définie que sur un intervalle (par exemple, sur [0, T]).
• Approximations : La série de Fourier permet d’approcher des fonctions complexes par des sommes infinies de termes simples, ce qui simplifie les calculs.

5. Équations aux dérivées partielles (EDP) :

• Modélisation de phénomènes physiques : Les EDP sont utilisées pour décrire des phénomènes à plusieurs variables indépendantes, comme la propagation de la chaleur, des ondes, ou la diffusion de substances dans un milieu. Par exemple, les équations de la chaleur et de la diffusion sont des exemples classiques d'EDP.
• Méthodes de résolution :
• Séparation des variables : Technique permettant de résoudre des EDP en supposant que la solution peut être exprimée comme un produit de fonctions, chacune dépendant d’une seule variable.
• Méthode des caractéristiques : Utilisée pour résoudre des EDP du premier ordre en transformant le problème en un système d'EDO le long de certaines courbes caractéristiques.